quarta-feira, 23 de setembro de 2009

A Conjectura de Goldbach e o Paradoxo de Russell

Nestes últimos anos debatendo o tema religião, vez ou outra recorri a duas referências matemáticas que considero fantásticas: A Conjectura de Goldbach e o Paradoxo de Russell*.

Neste post apresentarei de forma resumida essas duas referências, uma vez que é bem provável que eu as utilize futuramente neste blog.

A Conjectura de Goldbach é um dos grandes problemas não resolvidos da matemática. Apesar de ser muito simples entender o problema proposto, sua efetiva demonstração provavelmente nunca virá. Tal conjectura afirma que:

- Todo inteiro par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos.

Como eu disse, um problema muito simples. Aparentemente óbvio. Desafio o leitor a pensar em qualquer numero par maior que dois e tentar encontrar dois números primos cuja soma seja o número pensado. Provavelmente você conseguirá. E se continuar tentando, em breve concluirá que tal conjectura deve de fato ser verdadeira, já que o foi para todos os testes que fizera.

No entanto, para fins de demonstração formal, toda e qualquer possibilidade deve ser verificada. Obviamente não é possível testar todos os infinitos inteiros pares, e ainda que fosse, essa não seria a melhor maneira de demonstrar a veracidade de tal conjectura. Tal demonstração, assim como a maioria das demonstrações matemáticas, deve ser realizada através da aplicação de argumentos lógicos, como axiomas, postulados, lemas e teoremas.

Em suma, por mais óbvia que possa parecer, a Conjectura de Goldbach ainda não pôde ser comprovada.

Já o Paradoxo de Russell é um tanto mais complexo de se entender. Recomendo a leitura deste artigo para mais detalhes, mas resumidamente posso dizer que o que Bertrand Russell notou, foi que:

- Caso definamos o conjunto M como sendo o conjunto de todos os conjuntos que não contém a si mesmo como membro, concluiremos tanto que M está, quanto que M não está contido em si mesmo.

Ilustrando:
M=\{A\mid A\not\in A\} M \in M \  ou \ M \not\in M \ ?

Respire um pouco. Esse realmente é difícil de entender, até por que estou omitindo os detalhes. Não vou lhes entregar tudo de graça.

Mas assim sendo, como pode a lógica pura levar a duas conclusões completamente opostas? Estaria a lógica errada? Que explicação podemos dar a esse fato? Há alguma explicação? Ou devemos simplesmente fingir que nunca lemos isso. Que isso nunca aconteceu?

Há sim uma explicação. A explicação, de forma simplista, é que a definição do que vem a ser um conjunto, utilizada até então, não era uma boa definição. Tratava-se de uma definição inconsistente, pois permitia a elaboração de teorias absurdas como esta.

Qual a solução encontrada para o caso? Na verdade foram propostas várias soluções. Basicamente alterando a definição de conjunto. A minha preferida, embora não das melhores, estabelece que um conjunto jamais poderá conter a si mesmo como elemento, o que é suficiente para escapar do Paradoxo de Russell, mas não tão boa para a matemática em si. Não entremos nesse mérito.

Quis mostrar duas coisas com este post: Primeiro que uma demonstração formal, para ser considerada válida, deve ser incontestável. E segundo que de nada adianta utilizar uma boa lógica se partimos de definições e suposições inconsistentes.

Falarei mais sobre isso nos futuros posts.

Reflitam, se tiverem paciência pra isso.

* Bertrand Russell já deve ser conhecido por muitos dos possíveis frequentadores deste blog, ou ao menos a sua teoria do bule celestial.

5 comentários:

  1. Eu achei bem legal, apesar de ter inveja dos que entendem matemática, assim como invejo os Grande Mestres do xadrez. Eu mesmo, só consigo achar bonito... rsrsrs

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  2. O que é um paradoxo? De forma simplificada, seria uma afirmação, aparentemente verdadeira, que leva a uma contradição lógica. Assim como na Matemática, a lógica formal tem alguns paradoxos e a maioria nos leva questionar nossa compreensão semântica (definição), como acontece no Paradoxo de Russell. Uma grande evolução da Matemática é o seu desenvolvimento axiomático: Estabelecem-se premissas (axiomas) adequadamente coerentes entre si (não contraditórias) e daí derivam-se resultados (teoremas) passíveis de demonstração, desde que respeitados os axiomas, claro. Do ponto de vista estritamente lógico, não existe a preocupação se as premissas referem-se a uma "verdade". Enquanto os axiomas forem respeitados as conclusões serão logicamente verdadeiras!
    Embora algumas vezes a demonstração ou desenvolvimento matemático (ou lógico) seja complexo, uma conclusão (teorema) será sempre verdadeira (válida, incontestável) se não contradisser as premissas (axiomas). Assim me parece que o problema está no estabelecimento do conjunto de axiomas que possam representar uma "verdade" aceitável! Mas será que existem "verdades"? Como sempre, aceito sugestões...

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  3. Bom, acho que você mesmo respondeu à sua pergunta. O que é verdade depende das premissas (axiomas, postulados, lemas, teoremas e corolários). Tome como exemplo as geometrias euclidiana e hiperbólica, que partem de quatro postulados comuns mais um quinto exclusivo a cada uma delas, gerando geometrias completamente distintas. No entanto, ambas válidas.

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  4. Muito interessante.

    Paradoxos são realmente muito interessante e nos fazem pensar, e muito. E o mais legal é pensar diferente.

    Gosto muito dos paradoxos matemáticos, mais do que os físicos.

    Sobre uma coisa que tu disse: é importante o formalismo. Imagina qq coisa absurda surgindo e sendo divulgada como provado. E acredito que essa seja a tua missão com esse blog, desvendar mitos.

    Gostei dessa tua missão. Quando lembrar de algum mito ou alguma coisa que eu suspeite que seja mito, virei aqui conversar contigo.

    Muito bom o texto.

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  5. Obrigado Israel,

    Meu objetivo com este blog é na verdade catalogar minhas opiniões sobre assuntos relacionados a religião. Trato como mitos porque não faço distinção entre uma religião ativa e uma que já é tratada como mito por todos. Tento sempre ser imparcial.

    Mas qualquer tema que você trouxer para discutirmos será bem vindo, embora eu prefira usar o DeusILUSÃO para este tipo de discussão.

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